關於 AI 與數學的幾點想法

晚餐上的炸彈

炸彈是在討論班晚餐上，開胃菜剛吃完、主菜還沒上的空檔落下的。當時在場的有我的指導教授、另一位系上的教授、一群包括我在內的研究生，以及講者，也是我的師公。更諷刺的是，他原本打算介紹自己在 Griffiths 猜想上的研究進展。但九月下旬，兩組研究者分別在 AI 的協助下找到了反例，因此他只好改變計劃，講解了他們的工作。當我們聽見空襲警報，我放下叉子、抓起手機，找到 GitHub 上剛發布的那份檔案，快速掃過上面的受害者名單：log abundance、Fujita 猜想、Mahler 猜想，以及嗯，又一個 Griffiths 猜想的反例。我早就知道 OpenAI 這批論文要來了，但真的親眼看見，還是感覺超現實。我不禁想，有多少聽到消息的數學家，那天晚上還能安穩入睡。

對我來說，AI 強大的定理證明能力，自從夏天以來就已經非常明顯了。它發現了我忽略的技巧，也幫助我在研究問題的一個重要特殊情況上取得進展。當時的感想與經驗，我已經在 Astra 發布當天寫在這裡了。幾天後，在 OpenAI 宣布其 Navier–Stokes 結果的那一天，我讀到了 David Bessis 一篇非常棒的文章：The Fall of the Theorem Economy（我也翻譯了這篇文章）。這篇文章對我們身邊正在發生的變化，提供了深刻的哲學層次分析，而我也同意其中幾乎所有的論點。但作為一個博士生，我發現形上學層次的討論，並不能真正緩解我的焦慮。當我和朋友們討論這些事情時，不斷回到的問題是：「那我們該怎麼做？」我們需要一場更接地氣的對話。然而，圍繞這個話題、來自數學家自身與社會大眾的噪音，卻讓這場對話更難進行。

面對現實

在 OpenAI 宣布 Navier–Stokes 的結果之後，28 位菲爾茲獎得主發表了一篇宣言。他們主要擔心的是，競相解決問題的風潮，可能破壞那些將結果轉化為共同數學理解所需要的工作。我連署了這份宣言，現在仍然支持它的論點。與此同時，我也聽到一些同事希望 AI 公司終究會對數學失去興趣，讓我們回到過去的美好時光。我理解這種心情，但我不認為我們能把應對方式建立在這個期待上。

我想對我的數學家同事前輩們說：大家請面對現實吧，我們回不去了。

過去一個月的發展已經很清楚地顯示，無論我們發表多少宣言，又有多少數學家連署，我們不能指望一個今年預計吸引約一兆美元投資的行業領頭羊，會因區區數學界的反對就改變作為。即使 OpenAI 或 Anthropic 宣稱「數學已經解決了」，然後轉向其他事情，仍然會有許多公司迫不及待地想在我們的領域裡大顯身手秀肌肉（還可能比前兩家更下作）。

我並不想也沒能力浪費一篇文章對這些公司喊話。我反而覺得數學家已經對 AI 公司投入太多情緒與憤怒。但問題是他們不是唯一的壞人，同樣的問題也存在於我們自己社群之中。自從暑假以來，我已經看到一些數學家不斷把 AI slop 灌進 arXiv 插旗搶結果，有些甚至沒有揭露 AI 使用。我們需要檢視現行制度與文化鼓勵這些行為的誘因，並思考數學家能改變什麼，讓數學作為一門科學，在 AI 進展的情況下有韌性地持續發展。

在繼續之前，我想先回應一種對數學界憂慮的常見反應：如果數學的目標就是證明定理，而 AI 比人類更擅長產出經過驗證的證明，那數學家有什麼好不高興的？難道我們只是無法接受奇點到來、把持門戶的馬車伕嗎？容我借用 Bessis 的話來回應：

「無法理解的數學，其問題不在於它可能是錯的，而在於它確實毫無意義：它無法在目前唯一能理解它並體會其價值的硬體——人腦——上編譯執行。〔……〕在某個可能不遙遠的未來，能夠賦予意義並追尋真理的人工架構必然會出現，而且在某個時刻，它們很可能在數學創造力的各個面向超越人類，包括將形式化證明整理、整合進既有知識體系的工作。〔……〕然而，這絕對不是我們當下的現實，也不是目前趨勢直接延伸就能得到的結果。」

如果我們同意，無論 AI 的進展如何，只要人類還存在、仍然在乎數學，那麼數學作為一門科學的目標就是建立並分享人類對數學的理解。Thurston 就很清楚地表達過：

「我們並不是在試圖達成某種抽象的定義、定理與證明生產配額。衡量我們是否成功的標準，是我們所做的事情，能否讓人們更清楚、更有效地理解與思考數學。」

以這個目標來看，Daniel Litt 在他那篇廣為流傳的悲觀文章中提出的制度問題非常迫切。我們需要制度上的系統性改革，也需要改變自己的心態。如果不改變，我看不到數學以及未來投入這個領域的人可持續的未來。如果數學家自己都無法形成共識、改革既有的文化，就更無法說服公眾投入數學研究以及數學教育的必要性。

當替代指標不再有效

長久以來，證明一個有分量的定理，一直是衡量背後數學工作的替代指標：發展概念、辨識規律、連結不同領域，以及設法突破前人無法克服的障礙。我們無法直接衡量所有這些貢獻，但一個重要的定理提供了具體的成果，讓我們能夠給予承認與獎勵。於是，優先權、論文發表與期刊聲望，成了評價數學家的核心。David Bessis 就指出這套制度背後的文化：

「定義值零分，闡述性的工作算負分，最好的職位永遠應該留給證明了最困難定理的人……他們感嘆這套制度對證明優先權的病態執著，儘管大家都知道，真正辛苦的工作往往發生在這個循環之外，也就是試著理解既有結果的時候。然而，到了公開場合，他們仍然受到數學家榮譽守則的束縛：證明定理，然後閉嘴！」

這樣的文化跟制度設計本來就有很多問題。正如我在之前的文章中討論的，解釋、簡化與整理數學，往往不如證明新結果受到重視（可以看看 Bessis 文中引用的 Hardy 言論）。即便如此，過去數學家也在這樣的制度下，數百年來安穩度日，數學也成為一個大帳篷，承接著形色各異的數學家。

然而，現在取得結果與建立其背後的理解之間的關聯性正在受到 AI 衝擊。陶哲軒在把證明定理比作登頂的譬喻中，將 AI 系統比作跳躍機器人，能夠「靠跑酷登上六英尺高的牆」。如果我們延伸他的比喻，今天的 LLM 或許已經是（或很快就是）能把我們直接送上某些山頂的直升機。如此一來，登上山頂這件事，能告訴我們關於攀登者的攀登能力就少得多了。同樣地，如今單憑一個以某人名義宣布的定理，我們越來越難判斷這個人究竟貢獻了什麼，又理解了多少。

如果目前的獎勵結構不變，我們可以預期，會有更多人持續用 AI 抽卡競搶結果。他們可能沒有多少動機去檢視論證、辨識有用的想法，或把產出轉化為其他人能夠使用與學習的內容。來自數學社群其他人的反感，可能只會促使他們隱瞞 AI 的使用，把成果包裝成自己做的。隨著模型進步，或作者花更多心力掩飾產出，我們目前用以辨識 AI 生成文章的蛛絲馬跡，可能很快就會失效。我們不能把一套可持續的制度建立在整天玩這種偵探遊戲之上。

如果這種趨勢持續演變下去，整個領域都可能變成一片核廢土：各種宣稱的結果不斷堆積，社群卻沒有足夠的時間或誘因去檢查，可靠的結果也越來越難與缺乏根據的敘述區分。即使一個證明被形式驗證為正確的，理解其中想法、讓其他人或 AI 能夠使用它所需要的工作，仍然可能無人願意接手。

即使從 LLM 發展的角度來說，現在 LLM 吃下的是人類數百年來花費許多力氣與時間撰寫的文章書籍，我們並不知道 AI 的數學能力是否還能在未來這樣的廢土之上繼續成長。

那我們該怎麼做？

回到促使我寫下這篇文章的問題，我不覺得有任何人可以完整而肯定地回答這個問題。舊秩序的習慣與期待，無論在數學家的社群內還是在公眾對數學的理解中，都已經根深蒂固。正如 Bessis 所說：

「這可能是歷史上最大規模的產品召回——我們向數十億人兜售了一個錯誤的數學觀念，如今帳單到期了。」

Bessis 在文章結尾探討了幾個可能的方向。在這裡，我拋磚引玉地提出四個稍微接地氣的初步建議。畢竟，包含我在內的年輕研究者們的未來，也取決於我們的社群如何回應。

第一，重塑獎勵制度與誘因結構。

我們應該減少對證明優先權的強調，給予解釋、闡述，以及將結果整合進共同數學知識的工作更多承認。無論原始產出來自自己或他人使用的 AI，檢視論證、修補缺口、提煉概念、寫出清楚的文章，以及透過演講闡述新發現，本身都是獨立的數學貢獻。這些工作應該得到相應的認可與職涯機會。在上一篇文章中，我已經以廣中平祐的奇點解消為例。現在，我想再提名（及感謝）Philip Engel 透過文章與演講，盡力解釋 Anthropic 員工用 Claude 夢到的六維球上的複結構。我和指導教授這週才討論到，或許我們可以從 OpenAI 最近公布的那批論文，或其他地方，挑一篇自己感興趣的 AI 生成文章，組織一個「AI slop 讀書會」。一起讀懂論證，再把學到的內容寫下來。我認為這本身就已經是值得承認的貢獻。有些人已經在做了，但我們需要更多人加入進來。

這種轉變也能讓研究者更安心地使用 AI，也有動機誠實揭露 AI 的使用，因為他們的貢獻不必再依賴「自己證明一切」這種印象。這也可能減少公司競相搶結果造成的損害，因為在宣布結果之後，仍然有值得做、也能得到社會性獎勵的工作。我們的討論便能更直接地聚焦在數學本身：為什麼這個論證行得通？我們學到了什麼，之前漏掉了什麼？這些想法能帶來哪些進一步的發展？

第二，讓我們的制度支持這些貢獻。

資深數學家，尤其是有能力影響制度決策的人，應該認真思考：在上述框架下，同儕審查、聘任與升等應該如何運作？對尚未取得終身職的人來說，這恐怕是最直接的焦慮。不論我們認為數學應該追求什麼，自己的職涯仍然取決於制度實際獎勵什麼。

我只是一個博士生，當然沒資格提出一套成熟的替代制度。但當資深數學家談論如何留住年輕人時，我希望這些問題會是他們優先處理的事情。我們也應該承認並獎勵那些願意承擔責任、推動這些改變的人。至少，在同儕審查制度調整的過渡期，聘任與升等應該降低對發表篇數與期刊聲望的依賴。正如 Litt 在較為樂觀的那篇文章中所主張的，演講與深入的數學討論，能更直接地展現研究者的理解與貢獻。最近關於數學博士教育的報告也同樣建議採用嚴謹的當面評量與論文口試，而非主要依賴書面成果來判斷學生是否理解。

這些評量方式也不會完美。但是，在我們熟悉的指標正變得越來越無法反映實況，同儕審查制度也承受著越來越大的壓力時，我們可能就別無選擇地依賴這些過去認為更困難、更主觀的評量方式。

第三，探索新的數學研究方式。

LLM 可能讓過去看似遙不可及的研究與合作方式變得可行。例如，它們可能在跟其他領域的研究者的對話中，引入某些高深的數學工具，而這些研究者未必具備理解工具所需的背景。數學家可以協助說明工具如何運作、釐清它們的假設與限制，並根據眼前的問題加以調整或改進。相反地，LLM 可能幫助我們學習其他領域的語言、背景與方法，降低過去阻礙跨領域合作的門檻。透過這樣的交流，我們可能把更多數學帶入更廣泛的科學應用，也從中發現新的數學問題。

更甚者，這些被應用的數學知識也有可能超出了傳統「應用數學」的範疇，而讓過去被歸類為「純數學家」的研究者們也能夠參與進來。傳統純數學與應用數學的分野可能會被打破，「純數學」除了來自於自己領域內生的問題之外，也能有來自其他學科問題意識的刺激。我們應該更願意探索陌生的問題、走出舒適圈與他人合作，並嘗試不同形式的數學研究。

第四，投入更多心力於教育與公眾溝通。

我們需要向公眾說明，數學研究包含哪些工作、如何幫助我們理解世界，以及在 AI 能力不斷增強的時代，數學家能夠做些什麼。我們需要細緻地告訴社會，人類從事數學研究對於人類文化、科技與精神的重要性，來消解社會上一些人稱數學家對於 AI 公司的憤怒只是把持門戶的說法。

這當然也包含數學教育。當 AI 能夠輕鬆代為產出答案時，學生更需要一個有說服力的解釋，來提供他們學習的動機：為什麼學習數學仍然重要？正如 Bessis 所說：

「我所擔心的是一種錯誤的信念：彷彿數學能力存在某種『正常』程度，彷彿某些概念比其他概念更『真實』或更『具體』，而高等數學只是無謂地抽象。〔……〕有些人預言，數學最終會變得像西洋棋一樣。〔……〕這是一種短視的看法，忽略了數學建構意義與追尋真理的面向，也忽略了數學訓練帶來的巨大認知益處。一旦你對數、集合、統計、線性代數、微積分、微分幾何、機器學習〔……〕有了直觀理解，這個世界就會變得更容易理解。」

隨著學生能使用的工具改變，我們的教學也應該幫助他們親身體會這些益處。我甚至認為這個改變不只是大學，更應該從小學就開始（因為有些小孩從那時就已經開始討厭數學，埋下陰影了）。除了例行的計算練習，學生也需要機會去探索規律、提出問題，並發現數學想法如何讓世界變得更容易理解。

我們沒有時間再等下去

當前基礎科學面臨的輿論環境，已經讓我們沒有多少餘裕安於現狀。我們需要面對現實，更快地採取行動。隨著研究工具改變，我們需要一套制度，能夠支持那些願意理解、發展與分享數學的研究者。對我這種仍在建立職涯的人而言，這些改變能否及時發生，會直接影響我們是否還能留在數學之中。